曲線切線和法線的定義
曲線切線和法線的定義
P和Q是曲線C上鄰近的兩點，P是定點，當Q點沿著曲線C無限地接近P點時，割線PQ的極限位置PT叫做曲線C在點P的切線，P點叫做切點；經過切點P并且垂直于切線PT的直線PN叫做曲線C在點P的法線（無限逼近的思想）
說明：平面幾何中，將和圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線．這種定義不適用于一般的曲線；PT是曲線C在點P的切線，但它和曲線C還有另外一個交點；相反，直線l盡管和曲線C只有一個交點，但它卻不是曲線C的切線。
圓的切線
切線的性質定理
圓的切線垂直于經過切點的半徑．
推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．
推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．
切線的主要性質
(1)切線和圓只有一個公共點；
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；
(3)切線垂直于經過切點的半徑；
(4)經過圓心垂直于切線的直線必過切點；
(5)經過切點垂直于切線的直線必過圓心；
(6)從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項
其中(1)是由切線的定義得到的，(2)是由直線和圓的位置關系定理得到的,(6)是由相似三角形推得的，也就是切割線定理。
切線的判定和性質
切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。圓的切線垂直于這個圓過切點的半徑。
幾何語言：∵l⊥OA，點A在⊙O上
∴直線l是⊙O的切線（切線判定定理）
切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點半徑
幾何語言：∵OA是⊙O的半徑，直線l切⊙O于點A
∴l⊥OA（切線性質定理）
推論1經過圓心且垂直于切線的直徑必經過切點
推論2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心
切線長定理
定理從圓外一點可引出圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
幾何語言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C兩點
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切線長定理）
弦切角
弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
幾何語言：∵∠BCN所夾的是，∠A所對的是
∴∠BCN=∠A
推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等
幾何語言：∵∠BCN所夾的是，∠ACM所對的是，=
∴∠BCN=∠ACM
弦切角概念：頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角．它是繼圓心角、圓周角之后第三種與圓有關的角．這種角必須滿足三個條件：
（1）頂點在圓上，即角的頂點是圓的一條切線的切點；
（2）角的一邊和圓相交，即角的一邊是過切點的一條弦所在的射線；
（3）角的另一邊和圓相切，即角的另一邊是切線上以切點為端點的一條射線．
它們是判斷一個角是否為弦切角的標準，三者缺一不可，比如下圖中，均不是弦切角．
（4）弦切角可以認為是圓周角的一個特例，即圓周角的一邊繞頂點旋轉到與圓相切時所成的角．正因為如此，弦切角具有與圓周角類似的性質．
弦切角定理：弦切角等于它所夾的孤對的圓周角．它是圓中證明角相等的重要定理之一．
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
性質和定理
切線的性質定理
圓的切線垂直于過其切點的半徑；經過半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，就是這個圓的一條切線。
切線判定定理
一般可用：
1、作垂直證半徑
2、作半徑證垂直