偶函數

公式

1、如果知道函數表達式,對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都滿足 f(x)=f(-x) 如y=x*x;，y=cos x

2、如果知道圖像,偶函數圖像關于y軸（直線x=0）對稱.

3、偶函數的定義域D關于原點對稱是這個函數成為偶函數的必要非充分條件.

例如:f(x)=x^2,x∈R(f(x)等于x的平方,x屬于一切實數),此時的f(x)為偶函

偶函數的性質3

數.f(x)=x^2,x∈(-2,2](f(x)等于x的平方,-2

如圖①奇函數（關于原點對稱），圖②即為偶函數，（關于y軸對稱）

注意定義域為關于y軸對稱，則f(x)=f(-x)一定是是偶函數。

相關函數：奇函數，非奇非偶函數

如圖（1）奇函數（關于原點對稱），圖(2)偶函數，（關于y軸對稱）

方法

代數判斷法

先判斷定義域是否關于原點對稱，若不對稱，即為非奇非偶，若對稱，f(-x)=-f(x)的是奇函數 f(-x)=f(x)的是偶函數

幾何判斷方法：

關于原點對稱的函數是奇函數，關于Y軸對稱的函數是偶函數

如果f(x)為偶函數，則f(x+a)=f[-(x+a)]

運算法則

(1) . 兩個偶函數相加所得的和為偶函數.

(2) . 兩個奇函數相加所得的和為奇函數.

(3) . 一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.

(4) . 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.

(5) . 兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.

(6) . 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.

(7).奇函數一定滿足f(0)=0（因為F（0）這個表達式表示0在定義域范圍內，F(0)就必須為0）所以不一定奇函數有f(0)，但有F（0）時F（0）必須等于0，不一定有f(0)=0，推出奇函數，此時函數不一定為奇函數，例f(x)=x^2.

（8）定義在R上的奇函數f（x）必滿足f（0）=0；

—*—因為定義域在R上，所以在x=0點存在f(0)，要想關于原點對稱，在原點又只能取一個y值，只能是f(0)=0。

（這是一條可以直接用的結論：當x可以取0，f（x）又是奇函數時，f（0）=0）。

（9）當且僅當f（x）=0（定義域關于原點對稱）時，f（x）既是奇函數又是偶函數。

(10) 在對稱區間上，被積函數為奇函數的定積分為零。