基本簡介
在數學中，若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與多邊形內部的一個圓形相切，該圓就是多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。一個多邊形至多有一個內切圓，也就是說對于一個多邊形，它的內切圓，如果存在的話，是唯一的。并非所有的多邊形都有內切圓。三角形和正多邊形一定有內切圓。擁有外接圓的四邊形被稱為圓外切四邊形。
概念
與多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓。
特殊地，與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，圓心叫做三角形的內心，三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內心是三角形三條角平分線的交點。
三角形一定有內切圓，其他的圖形不一定有內切圓，且內切圓圓心定在三角形內部。
性質
在三角形中，三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。
常見輔助線：過圓心作垂直
相關公式
對于一般的三角形，內切圓半徑公式如下：r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]
在直角三角形的內切圓中，有這樣兩個簡便公式：1、兩直角邊相加的和減去斜邊后除以2，得數是內切圓的半徑。
兩直角邊乘積除以直角三角形周長，得數是內切圓的半徑。
1、r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面積，a, b是Rt△的2個直角邊，c是斜邊）
2、r=ab/ (a+b+c)
扇形內切圓
與扇形⌒AOB的圓弧⌒AB及兩條半徑OA,OB都相切的圓叫扇形的內切圓。
內切圓圓心O′在扇形的圓心角AOB的角平分線上
OO′=R-r(R是扇形半徑,r是內切圓半徑)
過O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中
∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r
∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r
內切圓面積=πr^2,
扇形面積是原來圓面積的60/360=1/6
∴扇形面積=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2
∴形的內切圓面積與扇形面積的比為πr^2:(3πr^2/2)=2:3
直角三角形的內切圓的半徑=二分之一×（直角邊+另一直角邊－斜邊）
內切圓的半徑為r=2S÷C，當中S表示三角形的面積，C表示三角形的周長。
內切圓等于外切圓的2分之1
面積與原正方形比為π：4