用途
矩陣的一個重要用途是解線性方程組。線性方程組中未知量的系數可以排成一個矩陣，加上常數項，則稱為增廣矩陣。另一個重要用途是表示線性變換，即是諸如f(x) 4x之類的線性函數的推廣 。設定基底后，某個向量v可以表示為m×1的矩陣,而線性變換f可以表示為行數為m的矩陣A，使得經過變換后得到的向量f(v)可以表示成Av的形式。矩陣的特征值和特征向量可以揭示線性變換的深層特性。
符號
以下是一個 4 × 3 矩陣：
某矩陣 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常記為 A[i,j] 或 Ai,j。在上述例子中 A[3,3]=2。
此外 A = (aij)，意為 A[i,j] = aij 對于所有 i 及 j，常見于數學著作中。
運算
矩陣的最基本運算包括矩陣加（減）法，數乘和轉置運算。被稱為“矩陣加法”、“數乘”和“轉置”的運算不止一種。
舉例：給出 m×n 矩陣 A 和 B，可定義它們的和 A + B 為一 m×n 矩陣，等 i,j 項為 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。
另類加法可見于矩陣加法。
若給出一矩陣 A 及一數字 c，可定義標量積 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如
這兩種運算令 M(m, n, R) 成為一實數線性空間，維數是mn.
若一矩陣的列數與另一矩陣的行數相等，則可定義這兩個矩陣的乘積。如 A 是 m×n 矩陣和 B 是 n×p矩陣，它們是乘積 AB 是一個 m×p 矩陣，其中
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 對所有 i 及 j。
例如
此乘法有如下性質：
(AB)C = A(BC) 對所有 k×m 矩陣 A, m×n 矩陣 B 及 n×p 矩陣 C ("結合律").
(A + B)C = AC + BC 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 n×k 矩陣 C ("分配律")。
C(A + B) = CA + CB 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 k×m 矩陣 C ("分配律")。
要注意的是：可置換性不一定成立，即有矩陣 A 及 B 使得 AB ≠ BA。
對其他特殊乘法，見矩陣乘法。
歷史
矩陣的研究歷史悠久，拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究。
作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。成書最遲在東漢前期的《九章算術》中，用分離系數法表示線性方程組，得到了其增廣矩陣。在消元過程中，使用的把某行乘以某一非零實數、從某行中減去另一行等運算技巧，相當于矩陣的初等變換。但那時并沒有現今理解的矩陣概念，雖然它與現有的矩陣形式上相同，但在當時只是作為線性方程組的標準表示與處理方式。
矩陣正式作為數學中的研究對象出現，則是在行列式的研究發展起來后。邏輯上，矩陣的概念先于行列式，但在實際的歷史上則恰好相反。日本數學家關孝和（1683年）與微積分的發現者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1693年）近乎同時地獨立建立了行列式論。其后行列式作為解線性方程組的工具逐步發展。1750年，加布里爾·克拉默發現了克萊姆法則。
矩陣的現代概念在19世紀逐漸形成。1800年代，高斯和威廉·若爾當建立了高斯—若爾當消去法。1844年，德國數學家費迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）討論了“變換”（矩陣）及其乘積。1850年，英國數學家詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩陣一詞。
英國數學家凱利被公認為矩陣論的奠基人。他開始將矩陣作為獨立的數學對象研究時，許多與矩陣有關的性質已經在行列式的研究中被發現了，這也使得凱利認為矩陣的引進是十分自然的。他說：“我決然不是通過四元數而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個表達線性方程組的方便方法而來的?！彼麖?858年開始，發表了《矩陣論的研究報告》等一系列關于矩陣的專門論文，研究了矩陣的運算律、矩陣的逆以及轉置和特征多項式方程。凱利還提出了凱萊-哈密爾頓定理，并驗證了3×3矩陣的情況，又說進一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了4×4矩陣的情況，而一般情況下的證明是德國數學家弗羅貝尼烏斯（F.G.Frohenius）于1898年給出的。
1854年時法國數學家埃爾米特（C.Hermite）使用了“正交矩陣”這一術語，但他的正式定義直到1878年才由費羅貝尼烏斯發表。1879年，費羅貝尼烏斯引入矩陣秩的概念。至此，矩陣的體系基本上建立起來了。
無限維矩陣的研究始于1884年。龐加萊在兩篇不嚴謹地使用了無限維矩陣和行列式理論的文章后開始了對這一方面的專門研究。1906年，希爾伯特引入無限二次型（相當于無限維矩陣）對積分方程進行研究，極大地促進了無限維矩陣的研究。在此基礎上，施密茨、赫林格和特普利茨發展出算子理論，而無限維矩陣成為了研究函數空間算子的有力工具。
矩陣的概念最早在1922年見于中文。1922年，程廷熙在一篇介紹文章中將矩陣譯為“縱橫陣”。1925年，科學名詞審查會算學名詞審查組在《科學》第十卷第四期刊登的審定名詞表中，矩陣被翻譯為“矩陣式”，方塊矩陣翻譯為“方陣式”，而各類矩陣如“正交矩陣”、“伴隨矩陣”中的“矩陣”則被翻譯為“方陣”。1935年，中國數學會審查后，中華民國教育部審定的《數學名詞》（并“通令全國各院校一律遵用，以昭劃一”）中，“矩陣”作為譯名首次出現。1938年，曹惠群在接受科學名詞審查會委托就數學名詞加以校訂的《算學名詞匯編》中，認為應當的譯名是“長方陣”。中華人民共和國成立后編訂的《數學名詞》中，則將譯名定為“（矩）陣”。1993年，中國自然科學名詞審定委員會公布的《數學名詞》中，“矩陣”被定為正式譯名，并沿用至今。
分類
環上的
若用一個環R去代替數域F,則可定義R上的矩陣及其運算，而且上述有關數域F上的內容，絕大部分都可以推廣到R上，尤其當R是一個有單位元素1的交換環，甚至是一個域時，則上述的全部內容可以推廣到R上。R是一個域或復數域F上的多項式環F【λ】的情形最為有用。
若A=(αij)是復數域F上的一個n階矩陣，I是n階單位矩陣，則A、I以及λI-A都可視為多項式環F【λ】上的n階矩陣 稱為A的特征矩陣。其行列式|λI-A|是F【λ】中的一個首項系數為1的n次多項(－1)nb0，其中bn-1恰為A的跡數，b0恰為|A|，?(λ)=|λI-A|稱為A的特征多項式,其根稱為A的特征值或特征根。λ0為A的一個特征值，必要而且只要有F上非零的n元列向量ξ即n行1列的矩陣，使λ0ξ=Aξ。此ξ稱為A的屬于λ0的一個特征向量。A的屬于不同特征值的特征向量，恒在F上線性無關。
對于F【λ】中任意一個m次多項式，可以用F上任意一個n階矩陣A去代替λ而引出一個n階矩，其中I為n階單位矩陣。所謂凱萊－哈密頓定理，即如果?(λ)是F上n階矩陣A的特征多項式時，那么恒有?(A)=On,其中On為n階零矩陣。由此可知，對于F上任意n階矩陣A,必存在唯一的首項系數為1的多項式φ(λ)使φ(A)=On。對于任意的多項式g(λ)，g(A)=On必要而且只要φ(λ)|g(λ)(即φ(λ)能整除g(λ)）。此φ(λ)就稱為A的最小多項式。
等價
對矩陣A的行與列或僅對行或僅對列施以若干次初等變換而得到矩陣B，稱為A等價于B,記為A≌B。。矩陣的等價是在討論一個向量空間到另一個向量空間的線性變換的各種矩陣表示問題中產生的。所謂矩陣的初等變換，是指以下的任何一種變換：①用F中任意的一個不為零的元素α去乘矩陣的第i行(列)；②把矩陣的第i行（列）的b倍加于第j行(列)，其中b為F中任意元素；③互換矩陣的第i與第j行(列)，并分別稱為第一、第二、第三種初等變換。
對F上的單位矩陣I進行一次初等變換后所得出的矩陣，稱為初等矩陣。一種初等變換對應于一種初等矩陣。對矩陣A的行施以某種初等變換的結果，恰等于用相應的初等矩陣去左乘A;對A的列施以某種初等變換的結果，恰等于用相應的初等矩陣去右乘A。初等矩陣恒為可逆的，且其逆矩陣仍是同一種初等矩陣，因此初等矩陣的積恒為非奇異矩陣。由此可知，等價矩陣的秩數相同，或者說初等變換不改變矩陣的秩數。于是，經若干次初等變換后，必可將每個秩數為r的矩陣的左上角化為r階單位矩陣，而其他位置都化為0。n階非奇異矩陣恒等價于n階單位矩陣，恒可表為若干個初等矩陣之積。因此,A≌B必要而且只要有非奇異矩陣P、Q使PAQ=B。
多項式環F【λ】上的矩，簡稱為λ矩陣。在F【λ】上也可定義行列式。A(λ)的秩數定義為A(λ)的最大非零子式的階數。對λ矩陣也可進行初等變換，在第一種初等變換中只能使用F中非零的α，而不能用F【λ】中非零的?(λ);第二種初等變換中則可用F【λ】中任意的g(λ)去代替b。也可以定義可逆性，對于λ矩陣P(λ)若有λ矩陣K(λ)使P(λ)K(λ)=K(λ)P(λ)=I，則稱λ矩陣P(λ)是可逆的，λ矩陣K(λ)則稱為P(λ)的逆矩陣。也可以定義λ矩陣的等價。秩數為r的λ矩陣A(λ)必等價于所謂A(λ)的法式即λ矩陣： ，
這里的諸φi(λ)均由A(λ)惟一確定，且φ1(λ)|φ2(λ)|…|φr(λ)，首項系數均為1。
由此可知，一個n階λ矩陣P(λ)是可逆的，必要而且只要P(λ)為若干個與λ矩陣的初等變換相應的初等矩陣的積；必要而且只要其行列式為F中的非零元素。兩個λ矩陣A(λ)m×n,B(λ)m×n是等價的，必要而且只要有可逆λ矩陣P(λ)、Q(λ)使P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。A(λ)的法式中的諸多項式φi(λ)，都稱為A(λ)的不變因子，且可作如下分解： 式中諸ej(λ)是F【λ】中首項系數為1的互不相同的既約多項式；nij為非負整數，且最后一行中的n1r,n2r,…，nkr均非零，并。這些因，除去指數nij=0者，都稱為A(λ)的初等因子 必要而且只要它們的法式相同；必要而且只要它們的全部不變因子一致；必要而且只要它們的秩數與全部初等因子一致。
相似
對于域F上兩個n階矩陣A、B，若有非奇異矩陣P,使P-1AP=B,則稱為A相似于B，記為A～B。矩陣之間的這個關系，具有反身性、對稱性和傳遞性，所以它是一種等價關系。矩陣的相似是在討論一個向量空間到自身之間的線性變換的各種矩陣表示問題中產生的。域F上兩個n階矩陣A與B相似，必要而且只要特征矩陣(λI-A)與(λI-B)在F【λ】上等價。λI-A的不變因子與初等因子，分別稱為A的不變因子與初等因子。特征矩陣λI-A的秩數，即A的階數n。因此,在F上的兩個n階矩陣A與B相似，必要而且只要它們的初等因子一致。當F是一個代數封閉域時，F【λ】中的首項系數為1的既約多項式只能是形如(λ-α)的一次式，所以此時F上的一個n階矩陣A的全部初等因子必為如下的一些多項式： 式中α1,α2,…，αk互不相同，k≥1；所有指數Л1,Л2,…，Лr,…；n1,n2,…，nt之和為n。對于每個形的多項式，可以惟一確定一個所謂若爾當小塊，即h階矩陣： ，
它只有一個初等因子，而且就。設上述n階矩陣A的全部初等因子的若爾當小塊分別是J1,J2,…，Jυ，v=r+s+…+t,用這v個小塊來合成一個n階對角分塊矩陣。 于是A～J，而且除諸小塊的次序外，J是由A所惟一確定的。J稱為A的若爾當標準形式。由此可知，只要找出A的全部初等因子即可求得A的若爾當標準形式。要找出A的全部初等因子有一個較簡捷的方法，即不必把λI-A化成法式，而先把λI-A通過初等變換化成對角矩陣，其對角線上的全部多項式不一定恰是A的全部不變因子，只要將其中每個非常數多項式的首項系數化為 1，再分解因子，即可象從不變因子求出初等因子那樣得出A的全部初等因子。
設N是任意域F上的一個方陣，若有正整數m使Nm=0，則N稱為一個冪零矩陣。例如，把上述若爾當小塊中的α全換成0得出的h階矩陣N，就是一個冪零矩陣，因為Nh=0。
若F上的方陣K具有性質K2=K,則稱K為一個冪等矩陣。例如單位矩陣就是一個冪等矩陣。由直接計算可知，對F上任意多項式?(λ)，有。因此，與冪零矩陣相似的矩陣仍為冪零矩陣；與冪等矩陣相似的矩陣仍為冪等矩陣。
實數域上一個非奇異矩陣T若具有性質T┡=T-1(T┡是T 的轉置矩陣),則稱為一個正交矩陣。例如解析幾何里直角坐標旋轉公式的系數矩陣就是正交矩陣。一個正交矩陣的轉置矩陣（即其逆矩陣）仍為正交矩陣；兩個同階的正交矩陣的積仍為正交矩陣。實數域上任意一個對稱矩陣A，恒可通過適當的正交矩陣T而相似于對角矩陣D，即D=T-1AT=T┡AT，且D 的對角線上的實數就是A的全部特征根。
復數域上的一個非奇異矩陣U若具有性質ū┡=U-1或U┡=(ū)-1(ū ┡為U 的共軛轉置矩陣)，就稱為一個酉矩陣。一個酉矩陣的共軛矩陣仍為酉矩陣；一個酉矩陣的轉置矩陣仍為酉矩陣;一個酉矩陣的共軛轉置矩陣(即其逆矩陣）仍為酉矩陣；兩個同階的酉矩陣的積仍為酉矩陣。復數域上凡滿足的矩陣A，稱為埃爾米特矩陣。實對稱矩陣作為復數域上的矩陣時，就是埃爾米特矩陣。任意一個埃爾米特矩陣A,恒可通過適當的酉矩陣U 而相似于實對角矩陣D，即D =U┡Aū，且D 的對角線元素恰為A 的全部特征根。一個正交矩陣作為復數域上的矩陣時，也是一個酉矩陣。
合同
當矩陣A經過若干套初等變換而化為矩陣B時，則稱為A合同于B,記。所以它是一種等價關系。矩陣的合同是在討論用(對稱)矩陣表示二次型的問題中產生的。
所謂一套初等變換，是指將某一種初等變換首先對一個矩陣的第i列（行）施行而得一矩陣，然后再對此所得矩陣的第i行(列)施行又得一矩陣。第一、二、三套初等交換，分別由第一、二、三種初等變換組成。
兩個n階矩陣A與B合同，必要而且只要有非奇異矩陣P使P┡AP=B。與對稱矩陣合同之矩陣仍為對稱矩陣。每個秩數為r的實對稱矩陣A恒合同于一個對角矩陣，其對角線上有p個1與q個-1；其他的對角線元素均為0，這里p≥0,q≥0，p+q=r，而且p與q都是由A所惟一確定的。實對稱矩陣的特征根恒為實數。實對稱矩陣A能合同于而又相似于一個對角矩陣，其對角線元素恰為A的全部特征根。與單位矩陣合同的實對稱矩陣，稱為正定矩陣。對于n階實對稱矩陣A,以下命題是等價的：A為正定矩陣；有非奇異矩陣Q；A的所有主子式均為正實數；A的所有i階主子式之和Si均為正實數(i=1,A所相應的二次型為正定型。
對一個復數方陣施以第一套初等變換，就是用不為零的α乘i行，再用ā乘第i列；施以第二套初等變換，就是把第i行的b倍加于第j行，再用第i列的姼倍加于第j列；施以第三套初等變換仍然是互換第i和第j兩行，再互換第i和第j兩列。若對復數方陣A施以上述的若干套初等變換而得方陣B,則稱為A能h合同于B。矩陣的h合同關系具有反身性、對稱性和傳遞性，所以它是一種等價關系。兩個n階復數矩陣A與B是h合同的，必要而且只要有非奇異矩陣P使P′A圴 =B。與埃爾米特矩陣是h合同的矩陣仍為埃爾米特矩陣。每個埃爾米特矩陣A恒h合同于一個對角矩陣，其對角線上有p個1與q個－1，其他元素均為0,這里p≥0,q≥0，p+q為A的秩數，而且p、q均是由A所惟一確定的。埃爾米特矩陣的特征根恒為實數。埃爾米特矩陣A不僅恒能h合同于一個對角矩陣，而且必能相似于一個對角矩陣，此時其對角線元素恰為A的全部特征根。與單位矩陣是h合同的埃爾米特矩陣，稱為正定埃爾米特矩陣。對于一個n階埃爾米特矩陣A，以下命題是等價的：A為正定埃爾米特矩陣；有非奇異矩陣Q;A的所有主子式為正實數;A的所有i階主子式之和Si,均為正實數(i=1,;A所相應的埃爾米特二次型是正定埃爾米特二次型。復數域上的一個方陣A若滿足A凴′=凴′A(即A與凴′可交換)就稱A為正規矩陣。實對稱矩陣、埃爾米特矩陣、正交矩陣與酉矩陣都是正規矩陣。每個復數方陣A均可表為A=h1+ih2，其中h1與h2均為由A所惟一確定的埃爾米特矩陣，此時A為正規矩陣必要而且只要h1與h2可交換。正規矩陣A與凴′有相同的特征向量。一個復數方陣A為正規矩陣，必要而且只要有酉矩陣U使U-1AU 為對角矩陣。
矩陣的理論起源，可追溯到18世紀，見于著作則是在19世紀。A.凱萊在1858年引進矩陣為一個正方形的排列表，且能進行加法與乘法運算，于是人們就把A.凱萊作為矩陣論的創始人。然而在此之前，C.F.高斯在1801年與F.G.M.艾森斯坦在1844～1852年就早已先后把一個線性替換(即線性變換)的全部系數作為一個整體，并用一個字母來表示。艾森斯坦還強調乘法的次序的重要性，指出ST與TS未必相同。與艾森斯坦同時的C.埃爾米特以及稍后的E.N.拉蓋爾和F.G.弗羅貝尼烏斯也都先后發展了線性替換的符號代數。弗羅貝尼烏斯較豐富的工作于1877年發表在最早的數學雜志之一的《克雷爾雜志》上。矩陣的相似標準形，矩陣的合同標準形，矩陣的求逆,矩陣的特征值與廣義特征值等是矩陣論的經典內容；矩陣方程論，矩陣分解論，廣義逆矩陣等是矩陣論的現代內容。矩陣及其理論在現代科學技術的各個領域都有廣泛的應用。
特殊類別
對稱矩陣是相對其主對角線（由左上至右下）對稱， 即是 ai,j=aj,i。
埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角線以復共軛方式對稱， 即是 ai,j=a*j,i。
注：一般來說對稱矩陣是對實矩陣而言，埃爾米特矩陣是對復矩陣而言。
斜對稱矩陣是其轉置矩陣等于自身的加法逆元，即是aii=0,ai,j=-aj,i(i≠j)。
特普利茨矩陣在任意對角線上所有元素相對， 是 ai,j=ai+1,j+1。
隨機矩陣所有列都是概率向量， 用于馬爾可夫鏈。
注：以上定義均是對方陣而言。
此外，還有對角矩陣，單位矩陣，條帶矩陣。
對角矩陣是僅在它的主對角線上有元素而其他位置上的元素全為零（即aij=
0或i≠j）的矩陣。如圖為nXn的對角矩陣：
類似的是單位矩陣，但位于主對角線上的元素都是1，即a1=a2=......=an=1條帶矩陣是指與主對角線平行的位置上有非零元素而其他位置的元素全為零的矩陣。
物理應用
線性變換及對稱
線性變換及其所對應的對稱，在現代物理學中有著重要的角色。例如，在量子場論中，基本粒子是由狹義相對論的洛倫茲群所表示，具體來說，即它們在旋量群下的表現。內含泡利矩陣及更通用的狄拉克矩陣的具體表示，在費米子的物理描述中，是一項不可或缺的構成部分，而費米子的表現可以用旋量來表述。描述最輕的三種夸克時，需要用到一種內含特殊酉群SU(3)的群論表示；物理學家在計算時會用一種更簡便的矩陣表示，叫蓋爾曼矩陣，這種矩陣也被用作SU(3)規范群，而強核力的現代描述──量子色動力學的基礎正是SU(3)。還有卡比博-小林-益川矩陣（CKM矩陣）：在弱相互作用中重要的基本夸克態，與指定粒子間不同質量的夸克態不一樣，但兩者卻是成線性關系，而CKM矩陣所表達的就是這一點。
量子態的線性組合
1925年海森堡提出第一個量子力學模型時，使用了無限維矩陣來表示理論中作用在量子態上的算子。這種做法在矩陣力學中也能見到。例如密度矩陣就是用來刻畫量子系統中“純”量子態的線性組合表示的“混合”量子態。
另一種矩陣是用來描述構成實驗粒子物理基石的散射實驗的重要工具。當粒子在加速器中發生碰撞，原本沒有相互作用的粒子在高速運動中進入其它粒子的作用區，動量改變，形成一系列新的粒子。這種碰撞可以解釋為結果粒子狀態和入射粒子狀態線性組合的標量積。其中的線性組合可以表達為一個矩陣，稱為S矩陣，其中記錄了所有可能的粒子間相互作用。
簡正模式
矩陣在物理學中的另一類泛應用是描述線性耦合調和系統。這類系統的運動方程可以用矩陣的形式來表示，即用一個質量矩陣乘以一個廣義速度來給出運動項，用力矩陣乘以位移向量來刻畫相互作用。求系統的解的最優方法是將矩陣的特征向量求出（通過對角化等方式），稱為系統的簡正模式。這種求解方式在研究分子內部動力學模式時十分重要：系統內部由化學鍵結合的原子的振動可以表示成簡正振動模式的疊加。描述力學振動或電路振蕩時，也需要使用簡正模式求解。
幾何光學
在幾何光學里，可以找到很多需要用到矩陣的地方。幾何光學是一種忽略了光波波動性的近似理論，這理論的模型將光線視為幾何射線。采用近軸近似（英語：paraxial approximation），假若光線與光軸之間的夾角很小，則透鏡或反射元件對于光線的作用，可以表達為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個分量是光線的幾何性質（光線的斜率、光線跟光軸之間在主平面（英語：principal plane）的垂直距離）。這矩陣稱為光線傳輸矩陣（英語：ray transfer matrix），內中元素編碼了光學元件的性質。對于折射，這矩陣又細分為兩種：“折射矩陣”與“平移矩陣”。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個主平面傳播到另一個主平面的平移行為。
由一系列透鏡或反射元件組成的光學系統，可以很簡單地以對應的矩陣組合來描述其光線傳播路徑。
電子學
在電子學里，傳統的網目分析（英語：mesh analysis）或節點分析會獲得一個線性方程組，這可以以矩陣來表示與計算。
其他性質
線性變換，轉置。
矩陣是線性變換的便利表達法，皆因矩陣乘法與及線性變換的合成有以下的聯系：
以 Rn 表示 n×1 矩陣（即長度為n的矢量）。對每個線性變換 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩陣 A 使得 f(x) = Ax 對所有 x ∈ Rn。 這矩陣 A "代表了" 線性變換 f。 今另有 k×m 矩陣 B 代表線性變換 g : Rm -> Rk，則矩陣積 BA 代表了線性變換 g o f。
矩陣 A 代表的線性代數的映像的維數稱為 A 的矩陣秩。矩陣秩亦是 A 的行（或列）生成空間的維數。
m×n矩陣 A 的轉置是由行列交換角式生成的 n×m 矩陣 Atr （亦紀作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 對所有 i and j。若 A 代表某一線性變換則 Atr 表示其對偶算子。轉置有以下特性：
(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。
注記
矩陣可看成二階張量， 因此張量可以認為是矩陣和向量的一種自然推廣。
矩陣圖法
矩陣圖法就是從多維問題的事件中，找出成對的因素，排列成矩
陣圖，然后根據矩陣圖來分析問題，確定關鍵點的方法，它是一種通過多因素綜合思考，探索問題的好方法。在復雜的質量問題中，往往存在許多成對的質量因素。將這些成對因素找出來，分別排列成行和列，其交點就是其相互關聯的程度，在此基礎上再找出存在的問題及問題的形態，從而找到解決問題的思路。
矩陣圖的形式如圖所示，A為某一個因素群，a1、a2、a3、a4、…是屬于A這個因素群的具體因素，將它們排列成行；B為另一個因素群，b1、b2、b3、b4、…為屬于B這個因素群的具體因素，將它們排列成列；行和列的交點表示A和B各因素之間的關系。按照交點上行和列因素是否相關聯及其關聯程度的大小，可以探索問題的所在和問題的形態，也可以從中得到解決問題的啟示等。
質量管理中所使用的矩陣圖，其成對因素往往是要著重分析的質量問題的兩個側面，如生產過程中出現了不合格品時，著重需要分析不合格的現象和不合格的原因之間的關系，為此，需要把所有缺陷形式和造成這些缺陷的原因都羅列出來，逐一分析具體現象與具體原因之間的關系，這些具體現象和具體原因分別構成矩陣圖中的行元素和列元素。
矩陣圖的最大優點在于，尋找對應元素的交點很方便，而且不遺漏，顯示對應元素的關系也很清楚。矩陣圖法還具有以下幾個點：
①可用于分析成對的影響因素
②因素之間的關系清晰明了，便于確定重點
③便于與系統圖結合使用。
用途
矩陣圖法的用途十分廣泛．在質量管理中，常用矩陣圖法解決以矩陣
下問題：①把系列產品的硬件功能和軟件功能相對應，并要從中找出研制新產品或改進老產品的切入點
②明確應保證的產品質量特性及其與管理機構或保證部門的關系，使質量保證體制更可靠
③明確產品的質量特性與試驗測定項目、試驗測定儀器之間的關系，力求強化質量評價體制或使之提高效率
④當生產工序中存在多種不良現象，且它們具有若干個共同的原因時，希望搞清這些不良現象及其產生原因的相互關系，進而把這些不良現象一舉消除
⑤在進行多變量分析、研究從何處入手以及以什么方式收集數據。
類型
矩陣圖法在應用上的一個重要特征，就是把應該分析的對象表示在適當的矩陣圖上。因此，可以把若干種矩陣圖進行分類，表示出他們的形狀，按對象選擇并靈活運用適當的矩陣圖形。常見的矩陣圖有以下幾種：
(1)L型矩陣圖。是把一對現象用以矩陣的行和列排列的二元表的形式來表達的一種矩陣圖，它適用于若干目的與手段的對應關系，或若干結果和原因之間的關系。
(2)T型矩陣圖。是A、B兩因素的L型矩陣和A、c兩因素的L型矩陣圖的組合矩陣圖，這種矩陣圖可以用于分析質量問題中“不良現象一原因一工序”之間的關系，也可以用于分析探索材料新用途的“材料成分一特性一用途”之間酌關系等。
(3)Y型矩陣圖。是把A因素與B因素、B因素與C因素、C因素與A因素三個L型矩陣圖組合在一起而形成的矩陣圖。
(4)X型矩陣圖。是把A因素與B因素、B因素與C因素、C因素與D因素、D因素與A因素四個L型矩陣圖組合而形成的矩陣圖，這種矩陣圖表示A和B、D，D和 A、C，C和B、D，D和A、C這四對因素間的相互關系，如“管理機能一管理項目一輸入信息一輸出信息”就屬于這種類型。
(5)C型矩陣圖。是以A、B、C三因素為邊做出的六面體，其特征是以A、B、c三因素所確定的三維空間上的點為“著眼點”。
制作
制作矩陣圖一般要遵循以下幾個步驟：
①列出質量因素：
②把成對對因素排列成行和列，表示其對應關系
③選擇合適的矩陣圖類型
④在成對因素交點處表示其關系程度，一般憑經驗進行定性判斷，可分為三種：關系密切、關系較密切、關系一般（或可能有關系)，并用不同符號表示
⑤根據關系程度確定必須控制的重點因素
⑥針對重點因素作對策表。